Jerguš na skúške zo všeobecnej teórie relativity zistil, že už nevie spočítať gravitačnú silu medzi dvomi homogénnymi guľami s hmotnosťami $m_1$ a $m_2$, polomermi $r_1$ a $r_2$ a vzdialenosťou stredov $R > r_1 + r_2$ vrámci Newtonovej teórie. Presnejšie, nebol si istý, či to vie odvodiť správne.

Odvoďte túto silu a dôkladne popíšte každý krok. Body budú dané za presnosť vašich argumentov, nie za výsledok. Základné vzťahy (ako napr. Gaussov zákon pre gravitáciu) môžete považovať za známe.

[3 body]

Malý asteroid s hmotnosťou $M$ a polomerom $R$ obieha po kružnici vo vnútri veľkej plynnej planéty uhlovou rýchlosťou $\omega$. Pre jednoduchosť budeme predpokladať, že plynná planéta rotuje tiež uhlovou rýchlosťou $\omega$ a jej hustota v oblasti, kde je planétka je $\rho_0$. Spočítajte veľkosť vztlakovej sily pôsobiacej na asteroid, ak plyn považujeme za izotermický s teplotou $T$. Gravitačné pôsobenie asteroidu na plyn planéty nezanedbajte.

Keďže planéta je omnoho väčšia ako asteroid, jej gravitačné pôsobenie považujte za konštantné so zrýchlením $g$.

[6 bodov]