Viditeľné časti špirálovitých galaxií, ako napríklad našej Mliečnej cesty, sú dominované plochým rotačným diskom. V typickej špirálovitej galaxii, tento disk obsahuje najviac hviezd a plynu. V tejto úlohe budeme predpokladať, že všetky objekty v disku špirálovitej galaxiie obiehajú po kružnicových trajektóriách okolo stredu galaxie a všetky tieto orbity ležia v jednej rovine.

Merania ukázali, že orbitálna rýchlosť ako funkcia vzdialenosti od stredu galaxie $v(R)$ vedú k tzv. rotačnej krivke. Mimo najvnútornejšieho stredu galaxii sú rotačné krivky typicky ploché (viď obrázok nižšie). Ploché rotačné krivky však siahajú ďaleko za oblasti, v ktorých pozorujeme najväčšie množstvo viditeľnej hmoty, naznačujúc, že väčšina hmoty je neviditeľná. V tejto úlohu budeme predpokladať, že väčšina hmoty v galaxii pripadá k tzv. sféricky symetrickému dark halo, t.j. je sféricky rozložená okolo stredu galaxie, ale nie je viditeľná.

* Náčrt rotačnej krivky - závislosti orbitálnej rýchlosti $v(R)$ ako funkcie $R$ od stredu galaxie. *

1. Nech $v_c$ je orbitálna rýchlosť v plochej časti rotačnej krivky. Nájdite celkovú hmotnosť $M(R)$ a hustotu $\rho(R)$ dark hala pomocou $v_c$ a $R$.

Fyzika za dark halami zostáva jednou z nevyriešených problémov súčasnej kozmológie. Jedným z navrhovaných riešení je, že môžu pozostávať z relatívne ťažkých kompaktných objektov, napr. čiernych dier. Tieto objeky môžu byť detekované tým, že vytvárajú efekt tzv. gravitačné šošovky, t. j. ak prejdú popred nejakú hviezdu v pozadí, svetlo pochádzajúce z tejto hviezdy bude ohnuté. Na to, aby sme však korektne vypočítali ohyb svetelných lúčov v gravitačnom poli by sme museli použiť Všeobecnú teóriu relativity. V tejto úlohe sa však skromne obmedzíme na klasickú Newtonovskú mechaniku.

Budeme predpokladať, že fotóny sú „guličky“ pohybujúce sa rýchlosťou svetla a ich pohyb sa dá opísať klasickou mechanikou. Budeme uvažovať geometriu ako na nasledujúcom obrázku. Predpokladajme, že fóton je emitovaný hviezdou $S$ a potom prechádza vo vzdialenosti $r_{\text{min}}$ popred objekt $L$, ktorý spôsobí zakrivenie trajektórie lúča, ktorý pozoruje pozorovateľ $O$. Ako fotón prechádza popred objekt $L$ získa rýchlosť $v_{\text{p}}$, kolmú na počiatočnú dráhu lúča, čím sa efektívne vychýli o uhol $\alpha$ od pôvodnej trajektórie.

Môžete predpokladať, že $v_{\text{p}}$ je rádovo menšia ako rýchlosť svetla $c$, fotón sa počas celého pohybu pohybuje prakticky rýchlosťou svetla a vzdialenosti $D_{\text{SL}}$ a $D_{\text{LO}}$ sú rádovo väčšie ako $r_{\text{min}}$.

* Náčrt gravitačného šošovkovania. *

1. Nájdite uhol $\alpha$ ako funkciu hmotnosti objektu $L$ - $M_L$ a vzdialenosti $r_{\text{min}}$.

Pomocou výpočtov zo Všeobecnej teórie relativity možno ukázať, že správny (relativistický) vzťah pre uhol odklonu je $$ \alpha = \frac{4GM_L}{r_{\text{min}}c^2}\,\text{.} $$

Ak sa hviezda v pozadí, šošovkový objekt $L$ a pozorovateľ nachádzajú presne na jednej priamke, tak ohnuté lúče z hviezdy vytvoria tzv. Einsteinov prstenec. Predpokladajte, že hviedza sa nacháza veľmi ďaleko od objektu $L$, t.j. $D_{\text{SL}} >> D_{\text{LO}}$ a ohyb svetla nastáva okamžite ako svetlo prechádza popred objekt $L$.

1. Ukáže, že pri týchto zanedbaniach je uhlový polomer Einsteinovho prstenca $\theta_E$ úmerný výrazu $$ \theta_E \propto \sqrt{\frac{GM_L}{D_{\text{LO}}c^2}}\,\text{.} $$