Atmosféra je plyn, a teda ide o súbor molekúl v neusporiadanom pohybe. Pri danej teplote $T$ majú molekuly plynu rôzne rýchlosti. Ak má niektorá molekula v horných riedkych vrstvách atmosféry rýchlosť väčšiu ako je úniková rýchlosť planéty, tak môže uniknúť do medziplanetárneho priestoru. Preto si planéta udrží atmosféru len vtedy, ak je počet takýchto molekúl dostatočne malý, takže aj za veľmi dlhý čas unikne len zanedbateľná časť atmosféry.

Plyn má rozdelenie rýchlostí podľa Maxwellovho zákona. To znamená, že hustota pravdepodbnosti $\rho(v)$, že nájdem molekulu o rýchlosti $v$ je

$$ \rho(v) \sim v^2 e^{- \frac{m v^2}{2 k T}} \, , $$ kde $m$ je hmotnosť molekuly a $k$ je Boltzmannova konštanta. Celé rozdelenie má zvonovitý tvar. Pre toto rozdelenie máme charakteristické rýchlosti:

• najpravdepodobnejšia rýchlosť (kde $\rho(v)$ má maximum) $$ v_\text{max}=\sqrt{\frac{2kT}{m}}, $$
• stredná rýchlosť (priemerná hodnota $v$ cez celé rozdelenie $\rho(v)$) $$ v_\text{mean}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}, $$
• stredná kvadratická rýchlosť (odmocnina strednej hodnoty $v^2$ cez celé rozdelenie $\rho(v)$) $$ v_\text{square mean}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}. $$

Všetky rýchlosti majú svoju typickú škálu a zvolíme si najpravdepodobnejšiu rýchlosť $v_\text{max}$ za našu jednotku. Nás bude zaujímať, aký hrubý je “chvost” tohto rozdelenia, teda koľko molekúl bude mať rýchlosť väčšiu ako bude nejaký násobok $X$ našej škálovacej rýchlosti $v_\text{max}$. Táto rýchlosť bude úniková rýchlosť planéty $$ X v_\text{max} = v_\text{únik} \, . $$

Potrebujeme teda určiť násobok $X$ a zároveň únikovú rýchlosť.

Úniková rýchlosť planéty

Úniková rýchlosť planéty je jednoducho rýchlosť, akú musí mať teleso na povrchu planéty, aby malo dostatočnú energiu na prekonanie gravitačnej potenciálnej energie planéty, aby sa dostalo do nekonečna. To sa dá vyjadriť tak, že súčet kinetickej a potenciálnej energie je práve nula. $$ \frac{1}{2} m v_\text{únik}^2 - \frac{G M m}{R} = 0 \, , $$ kde $M$ je hmotnosť planéty a $R$ je polomer planéty. Po vyjadrení dostaneme

$$ v_\text{únik} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}} \, . $$

Keďže poznáme strednú hustotu planéty $\rho$, môžeme jej hmotnosť napísať ako

$$ M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho \, , $$

a po jej dossadení dostaneme

$$ v_\text{únik} = R \sqrt{\frac{8 \pi G \rho}{3}} \, . $$

Ako odhadnúť parameter $X$

Teraz treba odhadnúť, aké veľké musí byť $X$, aby atmosféra vydržala aspoň rádovo vek planét. Približný vek planét je $\tau \sim 10^9 \, \text{rokov}$. Nejakú atmosféru planéta stratí vždy, nesmie to však byť rýchlejšie ako tento vek.

Podiel molekúl s rýchlosťou väčšou ako $v > X v_\text{max}$ klesá rýchlo. Približne ako $\sim e^{-\frac{m v^2}{2kT}} = e^{-X^2} $. Faktor $X^2$ pred exponenciálou môžeme zanedbať, keďže rozhodujúcim výrazom je exponenciála. Vidíme, že aj malá zmena $X$ výrazne mení množstvo molekúl, ktoré majú dostatočnú rýchlosť na únik z atmosféry. Ako často nastávajú zrážky v hornej vrstve atmosféry? Rýchlosť častíc je typicky $v_\text{max}$ a medzimolekulárne vzdialenosti v hornej vrstve musia mať rovnakú škálu akou je “výška” celej atmosféry. Odhad výšky atmosféry $H$ sa dá odhadnúť z hydrostatického princípu. Tlak plynu $p$ zodpovedá hydrostatickému tlaku $\rho_\text{atm} H g$.

$$ p = \rho_\text{atm} H g $$

Zároveň poznáme tlak zo stavovej rovnice plynu

$$ p = \frac{N k T}{V} = \frac{N m k T}{m V} = \frac{\rho_\text{atm} k T}{m} \, , $$ kde $m$ je hmotnosť jednej molekuly.

Po dosadení dostaneme $$ H = \frac{k T}{m g} \, . $$

Gravitačné zrýchlenie na povrchu planéty s hustotou $\rho$ je $$ g = \frac{G M}{R^2} = \frac{4 \pi G \rho R}{3} \, . $$

Po dosadení je výška atmosféry $$ H = \frac{3 k T}{4 \pi G \rho R m} \, . $$

Potom frekvencia zrážok $f$ v horných vrstvách je približne $$ f = \frac{v_\text{max}}{H} = \frac{4 \pi G \rho R}{3} \sqrt{\frac{2m}{k T}} \, . $$

Nakoniec teda kombináciou frekvencie zrážok v horných vrstvách a faktora dostatočnej unikovej rýchlosti dostaneme mieru rýchlosti $\nu$, akou sa zmenšuje atmosféra $$ \nu = f e^{-X^2} \, . $$ Obrátená hodnota $\nu$ vyjadruje typický polčas, za ktorý atmosféra stratí nejaký významný zlomok častíc (môže ísť o polovicu alebo $1/e$, ale keďže nás zaujíma rádový odhad, tak to nie je podstatné). Tento čas by mal byť väčší ako vek planéty $\tau$. Dostaneme teda $$ \frac{1}{\nu} > \tau \implies e^{X^2} > \frac{4 \pi G \rho R \tau }{3} \sqrt{\frac{2m}{k T}} \, . $$

Pre dusík $\text{N}_2$ s hmotnosťou $m = 28\, \text{u} = 4.65 \times 10^{-26} \, \text{kg}$ a pre polomer Zeme $R = 6371 \, \text{km}$ dostávame hodnotu $$ X > 5.9 \, . $$ Keďže sú tu dôležité rádové odhady, výsledok nebude výrazne ovplyvnený, ak by sme zobrali polovicu polomeru Zeme (vtedy by sme dostali $X > 5.8$). Ďalej budeme rátať s hodnotou $X = 6$.

Minimálny polomer planéty

Keď sme už odhadli parameter $X$ a aj únivkovú rýchlosť, po dosadení dostaneme

$$ X v_\text{max} = v_\text{únik} \implies X \sqrt{\frac{2kT}{m}} = R \sqrt{\frac{8 \pi G \rho}{3}} \, . $$

Pre polomer teda dostaneme

$$ R = X \sqrt{\frac{3 k T}{4 \pi m G \rho}} \, . $$

Z dvojice dusíka a kyslíka je ľahší dusík. Keďže je ľahší, tak má väčšiu šancu, že bude unikať a teda bude určovať limit, kedy sa atmosféra udrží. Po dosadení pre dusík dostaneme

$$ R \approx 1700 \, \text{km} \approx 27\% R_\text{Zem} \, . $$

Tento odhad je v súlade s odhadom pri určení parametru $X$. Ak by sme použili tento polomer, tak dostaneme $X > 5.77$, a dohad polomeru by sa zmenil iba na $1600 \, \text{km}$. Môžeme teda povedať, že rádovo planéta musí mať aspoň tretinový polomer Zeme, aby si zachovala atmosféru po dobu geologických časov.