Počet bodov:
Popis:  9b

Rýchlokurz kvantovou fyzikou

V kvantovej fyzike je stav elektrónu úplne popísaný vlnovou funkciou \(\Psi(\vec{r})\), čo je komplexná funkcia závislá na polohe elektrónu v priestore \(\vec{r}\). Druhá mocnina absolútnej hodnoty \(|\Psi(\vec{r})|^2 = \rho(\vec{r})\) má fyzikálny význam hustoty pravdepodobnosti výskytu elektrónu v polohe \(\vec{r}\). Preto, ak preintegrujeme hustotu pravdepodobnosti cez celý priestor, tak dostaneme celkovú pravdepodobnosť výskytu elektrónu niekde vo svete, čo je práve 1.

\[ \int_{\mathrm{R}^3} |\Psi(\vec{r})|^2 \, d \vec{r} = 1 \qquad{(1)}\]

Ak máme elektrón v nejakom systéme, tak sa môže nachádzať v ľubovoľnom stave \(\Psi(\vec{r})\) (jediná podmienka je rovnica 1). Avšak iba niektoré stavy sú statické (stabilné) – volajú sa vlastné stavy \(\phi_i(\vec{r})\). Vlastné stavy majú zopár vlastností:

  • Vlastné stavy sú označené číslom \(i\) (tzv. kvantové číslo) alebo skupinou kvantových čísel.
  • Vlastné stavy sú na seba kolmé vo význame integrálu cez celý priestor (všimnite si, že v prípade \(i = j\) dostaneme rovnicu 1). \[ \int_{\mathrm{R}^3} \phi^*_i(\vec{r}) \phi_j(\vec{r}) \, d \vec{r} = \begin{cases} 1 & \mathrm{pre} \,, i = j \\ 0 & \mathrm{pre} \,, i \neq j \end{cases} \qquad{(2)}\]
  • Ľubovoľný stav \(\Psi(\vec{r})\) sa dá vyjadriť ako lineárna kombinácia všetkých vlastných stavov \[ \Psi(\vec{r}) = \sum_{\forall i} c_i \phi_i(\vec{r}) \, . \qquad{(3)}\]
  • Ak sa elektrón nachádza v stave \(\Psi(\vec{r})\), ktorý nie je vlastný a elektrón pozorujeme, tak nastane takzvaný kolaps vlnovej funkcie – elektrón zmení svoj stav na jeden z vlastných stavov \(\phi_i(\vec{r})\) s pravdepodobnosťou \(|c_i|^2\).

Zadanie

Atóm trícia \(^3_1\mathrm{H}\) je v základnom stave (vlastný stav s najnižšou energiou) atómu vodíka (\(n = 1, l = 0, m = 0\)). Znudené jadro podstúpi \(\beta\)-rozpad a zmení sa na jadro hélia \(^3_2\mathrm{He}\). Prekvapený elektrón už viac nie je vo vlastnom stave nového jadra a preto keď ho pozorujeme, tak si elektrón musí vybrať, do ktorého z vlastných stavov nového jadra skolabuje.

  1. Aká je pravdepodobnosť, že elektrón skolabuje do základného stavu nového jadra \(\phi_{100}(\vec{r})\)?
  2. Aká je pravdepodobnosť, že elektrón skolabuje do iného väzobného vlastného stavu nového jadra \(\phi_{nlm}(\vec{r})\)?
  3. Aká je pravdepodobnosť, že elektrón ionizuje (skolabuje do nejakého z vlastných stavov opúšťajúc jadro)?

Nápoveda: V jadre s nábojom \(Z\) sú vlastné (väzobné) stavy popísané v sférických súradniciach ako

\[ \phi_{nlm} (r, \theta, \varphi) = R_{nl} (r) Y_{lm} (\theta, \varphi) \, , \]

\[ R_{nl} (r) = \sqrt{\left( \frac{2Z}{n } \right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!} } e^{-\frac{Z r}{n}} \left( \frac{2 Z r}{n} \right)^l L_{n-l-1}^{(2l+1)} \left( \frac{2 Z r}{ n } \right) \, , \]

\[ Y_{lm} (\theta, \varphi) = (-1)^m \sqrt{ \frac{(2l+1)}{4 \pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P^m_l (\cos \theta) e^{i m \varphi} \, , \]

kde \(L_{n-l-1}^{(2l+1)}\) je zovšeobecnený Laguerrov polynóm

\[ L_n^{(\alpha)} (x) = \frac{x^{-\alpha} e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n} \left( e^{-x} x^{n+\alpha} \right) , \]

a \(P^m_l\) je pridružený Legendrov polynóm

\[ P_l^m (x) = \frac{(-1)^m}{2^l l!} (1-x^2)^{\frac{m}{2}} \frac{d^{(l+m)}}{dx^{(l+m)}} \left( x^2-1 \right)^l . \]

Možné hodnoty kvantových čísel sú \(n \in \left\{ 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, +\infty \right\}\), \(l \in \left\{0,\, 1,\, 2,\, \dots ,\, n-2,\, n-1 \right\}\),
\(m \in \left\{-l,\, -l+1,\,-l+2,\, \dots,\, l-1,\, l \right\}\).

Odovzdávanie

Na odovzdávanie sa musíš prihlásiť

Otázky a diskusia

Po skončení kola budete mať príležitosť na diskutovanie o riešeniach v diskusii pod vzorovým riešením.