3. Odpružené koryto

Uvažujme sústavu koryta s vodou a pružinkou zobrazenú na obrázku. Koryto na vodu je tvorené z pevnej steny (vľavo) a pohyblivej nehmotnej steny (vpravo), ktorá sa otáča okolo osi \(O\). Keď koryto naplníme vodou s objemom \(V\), tieto steny budú zvierať uhol \(\alpha\). Spredu a zozadu je koryto utesnené stenami vzdialenými \(L\) (dĺžka koryta). Výška pohyblivej steny je \(R\). Pružinka má nulovú pokojovú dĺžku pri prázdnom koryte, tuhosť \(k\) a je upevnená na pevnej stene vo vzdialenosti \(R\) od osi \(O\) a na konci pohyblivej steny tiež vo vzdialenosti \(R\) od osi \(O\).

1. Pomocou rovnováhy síl nájdite vzťah medzi uhlom \(\alpha\) a objemom \(V\) vody v koryte. Následne zistite maximálny objem \(V_M\) vody, ktorý je koryto schopné udržať v rovnováhe. V tejto podúlohe predpokladajte, že koryto je dostatočne veľké na to, aby sa doň voda zmestila fyzicky.
2. Teraz, pre daný uhol \(\alpha\), geometricky nájdite objem vody \(V_P\), pri ktorom je koryto naplnené vodou až po okraj (horný koniec pohyblivej steny).
3. Kedy sa objemy \(V_M\) a \(V_P\) zhodujú, a aká by vtedy musela byť tuhosť \(k_{MP}\) pružinky?
4. Do koryta s pružinou s tuhosťou \(k \ll k_{MP}\) prilievame vodu prítokom \(Q\). Predpokladajte, že tento prítok je dostatočne malý na to, že koryto je vždy v rovnováhe. Popíšte čo sa bude diať. Myslite na to, že niektoré rovnovážne polohy môžu byť nestabilné.