6. Rotácie

Tuhé teleso je nezdeformovateľné, t. j. nemení svoj tvar. Je to veľmi dobrá aproximácia mnohých skutočných telies (kovy, drevo, tvrdé plasty, atď.), lebo pri bežných tlakoch a stresoch je zmena tvaru telesa väčšinou zanedbateľná.

V tejto úlohe sa zameriame na rotácie takýchto telies. Úloha je na pokračovanie: prvá časť je v zimnej sérii a druhá bude v letnej.

Pre popis rotácií telies začneme zvolením vzťažnej sústavy. Ponúkajú sa nám dve – buď sa budeme na systém pozerať z inerciálnej vzťažnej sústavy s pevnými súradnicovými osami danými jednotkovými bazovými vektormi \(\vec{e}'_i\) alebo z neinerciálnej sústavy spojenej s rotujúcim telesom so súradnicovými osami \(\vec{e}_j(t)\).^{1 2}

Vezmime si všeobecný vektor³ \(\vec{A}(t)\), ktorý sa môže meniť v čase. Označme jeho súradnice v inerciálnej sústave ako \((A'_i(t))_{1\leqslant i\leqslant 3} = (A'_1(t), A'_2(t), A'_3(t))\) a podobne pre neinerciálnu sústavu. Potom z definície platí \(\vec{A}(t) = \sum_{i=1}^3 A'_i(t)\vec{e}'_i = \sum_{j=1}^3 A_j(t)\vec{e}_j(t)\). Jeho časová derivácia potom je \[ \Drv{\vec{A}}{t} = \Drv{A_j}{t} \vec{e}'_j = \Drv{A_i}{t} \vec{e}_i + A_i \Drv{\vec{e}_i}{t} = \Drv{A_i}{t} \vec{e}_i + \vec\omega \times \vec{A}, \qquad(1)\] prestali sme označovať časovú závislosť veličín pomocou \((t)\), keďže je zjavná z predošlého odseku. V poslednom kroku sme využili, že ak teleso rotuje konštantnou uhlovou rýchlosťou \(\vec\omega\), platí \(\Drv{\vec{e}_i}{t} = \omega \times \vec{e}_i\). Ide o to, že bázové vektory neinerciálnej sústavy menia smer, takže zmena zložiek vektora v inerciálnej sústave \(\Drv{A_i'}{t}\) nemusí byť rovnaká, ako zmena zložiek vektora v rotujúcej sústave \(\Drv{A_j}{t}\).

1. Dosadením vektora polohy \(\vec r\) hmotného bodu (napríklad muchy) ako vektor \(\vec A\) a pracovaním len so súradnicami vektorov, overte, že ak v inerciálnej sústave pôsobí na bod sila \(\vec F\), potom Newtonov 2. zákon nebude v neinerciálnej sústave platiť. Ako by sme museli predefinovať silu v neinerciálnej sústave, aby Newtonov zákon platil naďalej?

Toto je pôvod odstredivej a Coriolisovej sily a dôvod prečo sa nazývajú fiktívne.

2. Majme teleso zložené z dvoch rovnakých homogénnych hmotných úsečiek hmotnosti \(m\) pevne spojených pod pravým uhlom (viď 1). Takéto teleso môže predstavovať 2D model stoličky. Stolička je pevne uchytená uchytená o tyč ako na obrázku a okolo tejto tyče rotuje konštantnou uhlovou rýchlosťou \(\vec{\omega}\). Spočítajte odstredivé sily pôsobiace na dve časti stoličky. Následne zistite, akým momentom sily pôsobí rotujúca stolička na tyč o ktorú je uchytená. Gravitáciu neuvažujte.

Moment hybnosti tuhého telesa okolo jeho ťažiska je \[ \vec{L} = \IntCV{r}{p} = \Int{\vec{r} \times \vec{v}}{m} = \Int{\vec{r} \times \left(\vec{\omega} \times \vec{r}\right)}{m}, \qquad(2)\] kde \(\vec{r}\) je polohový vektor od ťažiska telesa k infinitezimálnemu elementu o hmotnosti \(\diff m\). Integrál je cez celé teleso. Teleso rotuje okolo osi prechádzajúcej jeho ťažiskom s okamžitou uhlovou rýchlosťou \(\vec\omega\). Z rovnice 2 sa dá odvodiť vzťah mezi zložkami momentu hybnosti a zložkami uhlovej rýchlosti \[ \vec L = \vec{J}\vec{\omega}, \quad \text{alebo} \quad \begin{pmatrix} L_1 \\ L_2 \\ L_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} J_{11} & J_{12} & J_{13} \\ J_{21} & J_{22} & J_{23} \\ J_{31} & J_{32} & J_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} J_{11}\omega_1 + J_{12}\omega_2 + J_{13}\omega_3 \\ J_{21}\omega_1 + J_{22}\omega_2 + J_{23}\omega_3 \\ J_{31}\omega_1 + J_{32}\omega_2 + J_{33}\omega_3 \end{pmatrix}. \qquad(3)\]

Kde zložky tenzoru (matice) momentu zotrvačnosti \(\vec{J}\) sú \[ \begin{split} J_{11} &= \Int{r_2^2 + r_3^2}{m}, \quad J_{12} = J_{21} = - \Int{r_1r_2}{m}, \\ J_{22} &= \Int{r_3^2 + r_1^2}{m}, \quad J_{23} = J_{32} = - \Int{r_2r_3}{m}, \\ J_{33} &= \Int{r_1^2 + r_3^2}{m}, \quad J_{31} = J_{13} = - \Int{r_1r_3}{m}. \end{split} \]

Pre všetky tuhé telesá však existuje vzťažná sústava, kde nediagonálne zložky tenzora (matice) momentu zotrvačnosti (\(J_{ij}\) pre \(i\neq j\)) sú nulové. V takom prípade voláme osi tejto vzťažnej sústavy hlavnými osami telesa (tieto tri osi sú na seba vždy kolmé). Pre jednoduché telesá sú hlavné osi ľahko uhádnuteľné .. napríklad pre kváder sú to tri osi pozdĺž jeho strán. Pre komplikovanejšie telesá uľahčuje problém nájdenie symetrií, keďže potom smery hlavných osí telesa vždy súvisia s existujúcimi symetriami.

3. Aké dve symetrie má stolička z podúlohy 2? Ako budú smerovať jej tri hlavné osi? Odôvodnite svoje tvrdenie pomocou faktov z predošlého odseku.
4. Pre stoličku z podúlohy 2 spočítajte jej maticu momentu zotrvačnosti vzhľadom k súradnicovej sústave danej hlavnými osami. Určte taktiež vektor momentu hybnosti a aj jeho časovú deriváciu. Ako súvisí časová derivácia momentu hybnosti s momentom sily z úlohy 2?