1. Exotické trenie

Ronyho už prestal baviť dokonalý svet z fyzikálnych príkladov kde neexistuje trenie, so spontánnou túžbou generalizovať sa tak rozhodol, že spočíta ako kmitá harmonický oscilátor ak je naviac tlmený silou úmernou \(n\)-tej mocnine rýchlosti: \[ F = -\beta |v|^{n-1} v \] Po niekoľkých pokusoch riešiť differenciálnu rovnicu exaktne to však vzdal a teraz hľadá aspoň približné riešenie pre malé trenie.

Môžete predpokladať, že pohyb bude harmonický s ‘obalovou krivkou’: \(x(t)=A(t)\cdot \cos(\omega t)\). Nájdite \(A(t)\) pre ľubovoľné \(n\). Overte presnosť tohto výsledku pre suché (\(n=0\)) a viskózne (\(n=1\)) trenie exaktným výpočtom \(x(t)\).