2. Naozajstný magnetický monopól?

Táto úloha sa skladá z dvoch nezávislých častí o magnetických monopóloch. Magnetické monopóly sú hypotetické náboje magnetického poľa, ktoré vytvárajú radiálne magnetické pole popísané rovnicou: \[ B = \frac{\mu}{4\pi} \frac{q_m}{r^2}, \] kde \(q_m\) je tzv. magnetický náboj. Toto pole vyzerá podobne ako elektrické pole bodového elektrického náboja. V súčastnosti prebieha veľa experimentov, ktoré hľadajú magnetické monopóly vo vesmíre. Aj keď zatiaľ neboli úspešné, stále môžeme skúmať exotickú fyziku, ktorú magnetické monopóly vytvárajú.

Prvá časť

Maťo sa dal na experimentálnu fyziku a pokúsil sa o zdanlivo nemožné – umelo vytvoriť pole magnetického monopólu z pomôcok v laboratóriu. Konkrétne mal k dispozícii zdroje prúdu a kusy drôtu, ktoré vedel stáčať do cievok. Aj keď Maxwellove rovnice (konkrétne Gaussov zákon pre magnetizmus) mu takýto výtvor zakazujú, Maťovi stačí, aby pole tak vyzeralo aspoň vo veľkej časti priestoru. Navrhnite, ako ho Maťo vytvorí. Na experimentálne nedokonalosti nemusíte brať ohľad, ale pridajte diskusiu o tom, ako by v realite zmenili výsledné pole.

Poznámka: Ak by sme vo vesmíre našli skutočný magnetický monopól, Gaussov zákon pre magnetizmus by musel byť prepísaný. Túto časť úlohy však riešte tak, akoby magnetické monopóly neexistovali.

Druhá časť

Peťo do vloží do poľa zafixovaného magnetického monopólu mobilný elektrický náboj \(q\). Ukážte, že jeho orbitálny moment hybnosti \(\vec L\) sa nezachováva.

Dá sa však zadefinovať nová kvantita \(\vec J = \vec L + \vec S\), ktorá sa zachováva. Zistite aké musí byť \(\vec S\). Potom, iba na základe zachovania \(\vec J\) nájdite množinu bodov, po ktorých sa môže pohybovať mobilný elektrický náboj.

Hint: Pomocť môže rozpísanie nasledujúceho výrazu: \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\vec r}{|\vec r|}\right)\).