Peťo narazil na takýto príklad z fyziky:
Majme veľkú nádobu s priemerom \(D\) naplnenú kvapalinou, ktorú roztočíme uhlovou rýchlosťou \(\Omega\). Ak na vodu zasvietime zhora svetlo, odrazom od hladiny sa svetlo zaostrí do jedného bodu – ohniska. Nájdite, kde leží tento bod.
Zdal sa mu však veľmi nerealistický. Keď predsa roztočí vodu v pohári miešaním, nezdá sa mu, že by jej hladina mala dokonale parabolický povrch, ako napovedá zadanie. (Pozrite napríklad toto video: https://youtu.be/tbaDqpR5xFY)
Táto úloha bude o lepšom modeli, ktorý popisuje tvar povrchu tesne po miešaní.
Na zahriatie spočítajte tradičný príklad, zistite tvar hladiny a bod, kam sa zaostrí svetlo svietiace priamo zhora.
Ďalej vyhľadajte Navier-Stokesove rovnice pre nestlačitelnú kvapalinu s viskozitou vo vhodných súradniciach, kde je veľa členov nulových zo symetrie problému. Nájdite dve nezávislé riešenia pre časovo-nemenné prúdenie kvapaliny. Ako bude kvalitatívne vyzerať povrch v oboch prípadoch?
Pri riešení diferenciálnych rovníc nesmieme zabudnúť na tzv. okrajové podmienky: hodoty riešenia na okrajoch domény. Napíšte ich. Viete tieto podmienky implementovať do vašeho riešenia? Následne sformujte približný model, ktorý bude popisovať prúdenie kvapaliny, ktorú roztočíme v pohári. Dbajte hlavne na to, aby kvalitatívne povrch sedel s videom. 1
Zistite, do ktorého bodu sa naozaj skoncentruje najviac svetla, ak vieme, že inflexný bod povrchu vody je vzdialený \(a\) od osi pohára.
Stačí nám hladať kvázistabilné riešenie, t.j. približné riešenie, ktoré platí len po krátky čas (ak by sme čakali dlhšie, viskozita by pohyb kvapaliny zastavila úplne).↩︎
Odovzdávanie
Na odovzdávanie sa musíš prihlásiť
Otázky a diskusia
Po skončení kola budete mať príležitosť na diskutovanie o riešeniach v diskusii pod vzorovým riešením.