3. Vlnová dĺžka?

V tomto príklade sa pozrieme na efekt, ktorý ste si mohli už niekedy všimnúť, ak ste leteli lietadlom. Keď Maťo naposledy letel lietadlom, tak si všimol, že nad celým Nemeckom, Francúzskom aj Veľkou Britániou sa nachádzajú oblaky skondenzované v prúžkoch. I tu ho zaujala otázka, či by sa nedala zistiť typická „vlnová dĺžka“ týchto oblakov. To bude vašou úlohou v tejto úlohe.

Uvažujme atmosféru popísanú distribúciou hustoty \(\rho(h)\) od výšky \(h\). Predstavme si, že hustota vzduchu \(\rho(h)\) je konštantná vo vrstvách rovnakej výšky a vrstvu nachádzajúcu sa v nejakej výške vychýlime o \(h'\) vzhľadom na vrstvy okolo, tak, že nedochádza premiešavaniu vzduchu rôznych hustôt. Odvoďte pohybovú rovnicu pre výchylku \(h'\) vrstvy vzduchu nachádzajúcu sa pôvodne vo výške \(h\). Ukážte, že táto rovnica sa dá napísať v tvare

\[ \frac{\partial^2 h'}{\partial t^2} = \frac{g}{\rho(h)}\frac{\partial \rho(h)}{\partial h}h'\,\text{.} \]

[3 body]

Vložením adiabatickej atmosféry (zvyšné hodnoty vhodne odhadnite) nájdite gradient hustoty a na základe neho príslušnú uhlovú frekvenciu kmitov \(\omega\) vrstvy vzduchu, ak sa vychýli od okolia o malú výšku \(h'\).

[3 body]

Uvážením faktu, že pre gravitačné vlny - vlny, pri ktorých je dominantnou vratnou silou gravitácia - platí pre fázovú rýchlosť vĺn \(v = \omega/k\) vzťah \[ v = \sqrt{gk}\,\text{,} \] kde \(k\) je vlnové číslo, nájdite typickú vlnovú dĺžku takýchto atmosférických vĺn ležiacich v realistickej výške.