6. Navigácia sa vracia!

Navigácia GPS pozostáva z najmenej \(24\) satelitov, ktoré obiehajú okolo Zeme vo vzdialenosti \(h=\SI{26600}{\kilo\meter}\) od jej stredu rýchlosťou \(v \sim \SI{3.9}{\kilo\meter\per\second}\). Všetky satelity si so sebou nesú atómové hodiny a sú vzájomne zosynchronizované. V istých časových intervaloch satelity simultánne vysielajú signál, ktorý obsahuje informáciu o ich orbitálnej polohe a čase vyslania signálu. Využitím tejto informácie z viacerých satelitov dokáže prijímač na Zemi určiť svoju polohu. V tejto úlohe si ukážeme, že na správne fungovanie navigácie je potrebné zahrnúť relativistické korekcie.

Podľa Einsteinovho princípu ekvivalencie je zrýchľujúca vzťažná sústava nerozlíšiteľná od pokojnej sústavy nachádzajúcej sa v homogénnom gravitačnom poli.

• Pomocou výpočtov v zrýchľujúcej sústave ukážte, že čas v gravitačnom poli sa spomaľuje. Konkrétne odvoďte, že v slabom homogénnom gravitačnom poli (\(gH << c^2\)) platí pre podiel tikania identických hodín vo výškach \(h=0\) a \(h=H\) \[ \frac{T_H}{T_0} = 1 - \frac{gH}{c^2}\text{,} \] kde \(g\) je gravitačné zrýchlenie.

Obom hodinám trvá, samozrejme, tiknutie vo svojej vzťažnej sústave rovnako dlho. Rozdiel je pozorovateľný, ak sa na obe hodiny nahliada v jedinej vzťažnej sústave. Dá sa ukázať, že v nehomogénnom gravitačnom poli, napr. radiálnom gravitačnom poli Zeme, sa predošlý vzťah zovšeobecňuje na \[ \frac{T_1}{T_2} = 1 - \frac{\Delta \phi}{c^2}\text{,} \] kde \(\Delta \phi\) je rozdiel gravitačných potenciálov medzi bodmi 1 a 2.

• Zistite, o koľko sa rozladia atómové hodiny od pozemských v priebehu jedného dňa v dôsledku špeciálnej relativity (obeh hodín okolo Zeme) a v dôsledku gravitačného poľa. Tento problém sa dá vyladiť, ak na orbitu vynesieme atómové hodiny tikajúce pomalšie.

• Odhadnite, aká by bola nepresnosť určenia našej polohy na Zemi po jednom dni od spustenia navigácie, ak by sme atómové hodiny na orbite nevyladili.