4. Optické stláčanie

Elektrický dipól je sústava dvoch opačných nábojov s nábojmi \(q\) a \(-q\), medzi ktorými je vzdialenosť \(d\) (ktorá sa dá napísať vektorovo \(\vec d\)). Elektrický potenciál tvorený dipólom sa v jeho okolí dá popísať ako \[V(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon} \frac{\vec p \cdot \vec r}{r^2}\text{,}\] kde vektor \(\vec p = q \vec d\) je dipólový moment. Hlavné rozdiely poľa elektrického dipólu od poľa jedného náboja sú v tom, že pole dipólu klesá nepriamo úmerne so vzdialenosťou umocnenou na tretiu (teda \(E \propto 1/r^3\)) a taktiež v tom, že jeho pole nie je radiálne symetrické (pripomína skôr magnetické pole tyčového magnetu).

Ak takýto dipól umiestnime do vonkajšieho elektrického poľa, pôsobí naň sila \[ \vec F = (\vec p \cdot \nabla) \vec E = \left( p_x \frac{\partial}{\partial x} + p_y \frac{\partial}{\partial y} + p_z \frac{\partial}{\partial z}\right) \vec E \text{.} \]

Prečo je však užitočné skúmať pole v okolí dipólu? Ukazuje sa, že pole v okolí ľubovolného rozloženia náboja sa dá napísať ako superpozícia bodového náboja (monopólu), dipólu, a radu ďalších, vyšších multipólov¹, ktoré však v tejto úlohe môžme zanedbať. Celá táto metóda sa volá multipólový rozvoj a matematicky ide len o Taylorov rozvoj funkcie \(1/|r-r'|\), ktorá vystupuje vo výpočte potenciálu. ²

Ako sa s tým presne ráta? Pole v okolí istého rozloženia náboja je dané ako superpozícia monopólu, dipólu a zvyšných multipólov, ktoré zanedbáme: \[ V(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon} \bigg(\underbrace{\frac{Q}{r}}_\text{monopól} + \underbrace{\frac{\vec p \cdot \vec r}{r^3}}_\text{dipól} + \underbrace{\mathcal O(1/r^3) }_{\text{vyššie multipóly}} \bigg) \approx \frac{1}{4\pi\epsilon} \left(\frac{Q}{r} + \frac{\vec p \cdot \vec r}{r^3}\right) \] pričom použitím presného odvodenia (cez spomínaný Taylorov rad) sa dajú získať aj vzťahy pre efektívny náboj a efektívny dipólový moment sústavy: \[\begin{align} Q &= \int \mathrm{d}q = \int \vec \rho(r) \text{,}\mathrm{d}V = \text{celkový náboj.} \\ \vec p &= \int \vec r \text{,}\mathrm{d}q = \int \vec r \rho(r) \text{,}\mathrm{d}V \label{dipole-moment-definition} \end{align}\]

• Tánička zobrala svoju nevodivú kúzelnícku paličku s dĺžkou \(L\) a zanedbateľným prierezom. Na jednu polovicu naniesla rovnomerne náboj \(Q\) a na druhú náboj \(-Q\). Aké pole bude cítiť Maťo vzdialený od nej vo vzdialenosti \(D \gg L\) kolmo na paličku? Aký smer bude mať intenzita elektrického poľa? Pri výpočte použite spomínaný multipólový rozvoj.

• Určite si môžete všimnúť, že vzťah pre dipólový moment nie je vo všeobecnosti invariantný voči posunutiu súradnicovej sústavy. Aká je podmienka na to aby bol invariantný? Ak nie je invariantný, znamená to, že potenciál v okolí takého rozloženia nábojov nie je jednoznačne definovaný? Vysvetlite kde nastal problém.

Dipóly sú užitočne, aj keď uvažujeme pole dielektrika v externom elektrickom poli, ktoré vzniká indukovaným nábojom. Tento jav sa volá polarizácia a je dôvodom toho, prečo vnútri dielektrika je elektrická intenzita spravidla slabšia ako vo vákuu. Indukovaný náboj však mení aj pole v okolí dielektrika a zároveň kvôli nemu môže na dielektrikum pôsobiť elektrická sila. V relatívne jednoduchom modeli sa na indukovaný náboj dá pozerať ako jeden dipól³.

Predstavme si, že do monochromatického svetelného lúča umiestnime sférickú dielektrickú čiastočku. Polomer čiastočky je oveľa menší než je vlnová dĺžka svetla. Vplyvom elektrického poľa sa čiastočka polarizuje a bude sa správať ako elektrický dipól s dipólovým momentom daným: \[\begin{align*} \vec p &= \underbrace{\frac{3 \epsilon_0}{N} \frac{n^2-1}{n^2 + 2}}_{\alpha} \vec E = \alpha \vec E\text{,} \end{align*}\]

kde \(n\) je index lomu dielektrického materiálu a \(N\) je úmerné počet atómov na jednotkový objem.⁴

• Spočítajte výslednú silu pôsobiacu na takúto sférickú čiastočku, ako funkciu \(\vec E\), \(\vec B\) a \(\alpha\).

Hint: Bude sa vám hodiť vektorová identita \(\left(\vec {E} \cdot \nabla \right)\vec {E} =\nabla \left({\frac {1}{2}}E^{2}\right)-\vec {E} \times \left(\nabla \times \vec {E} \right)\) a jedna z Maxwellových rovníc.

• Pre lúč v ktorom intenzita svetla od vzdialenosti \(R\) od stredu závisí ako \(I(R) = I_0 + I_1 \left(\frac{R}{R_0}\right)^2\) určte podmienky, pri ktorých bude čiastočka vťahovaná do stredu a spočítajte periódu vlastných kmitov.