1. Lampión

Edmund sa rozhodol, že si zostrojí lampión poháňaný pevným liehom a rád by jeho správanie popísal zjednodušeným fyzikálnym modelom.

K dispozícii má elastický balón s konštantným množstvom vzduchu o hmotnosti \(m_V = \SI{1}{\kilo\gram}\) a tabletu pevného liehu s hmotnosťou \(m_0 = \SI{2}{\gram}\) (počiatočná hmotnosť paliva). Zvyšok konštrukcie má hmotnosť \(m_K = \SI{100}{\gram}\). Pevný lieh sa spaľuje rýchlosťou \(\alpha = \SI{48}{\gram\per\hour}\) a má výhrevnosť \(\beta = \SI{31}{\mega\joule\per\kilo\gram}\), pričom len \(\eta = \SI{60}{\percent}\) uvoľneného tepla sa odovzdá vzduchu, ktorý je v balóne (predpokladajte, že táto výmena tepla sa deje okamžite).

Ďalej uvažujte, že vzduch sa správa ako ideálny plyn, a že okolitý vzduch má rovnaký tlak a teplotu \(T_0 = \SI{20}{\celsius}\) vo všetkých výškach, kde sa lampión dostane. Merná tepelná kapacita vzduchu pri konštantnom tlaku je \(c = \SI{1.0}{\kilo\joule\per\kilogram\per\kelvin}\). Odpor vzduchu zanedbajte.

Ak čas začneme merať v momente zapálenia tablety, pomôžte Edmundovi zistiť nasledovné:

1. Čas \(t_0\), keď sa lampión odlepí od zeme a čas \(t_1\), keď sa minie palivo.
2. Aké sú nevyhnutné podmienky, aby sa lampión odlepil od zeme? Sú splnené pre zadané podmienky?
3. Rýchlosť \(v_1 = v(t_1)\) a výšku \(h_1 = h(t_1)\), keď sa minie všetko palivo.
4. Grafy závislostí \(v(t)\) a \(h(t)\) pre zadané hodnoty a pre všetky fázy letu.

Pre zjednodušenie výrazov použite nasledovné bezrozmerné parametre: \(\gamma = \frac{m_K+m_V+m_0}{m_V}\), \(\delta = \frac{\eta\beta}{T_0 c}\).