Z bežnej skúsenosti sme zvyknutí, že pri atmosférickom tlaku vieme dosiahnuť fázovú zmenu skupenstva väčšiny materiálov len vďaka znižovaniu teploty (napr. prechod voda-ľad). Pri premene na tuhé skupenstvo sa usporadúvajú jadrá atómov do kryštalickej štruktúry, valenčné elektróny okolo jadier a voľné elektróny (ak materiál nejaké vlastní) sa takmer voľne hýbu priestorom materiálu. Za určitých podmienok vedia prekvapivo aj voľné elektróny prejsť do lokalizovaného usporiadaného stavu, tzv. .
V tejto FX úlohe budeme študovať z teoretického pohľadu kus kovu, ktorému vieme určitým experimentálnym spôsobom znižovať koncentráciu voľných elektrónov, čím v konečnom dôsledku spustíme fázový prechod elektrónov do Wignerovho kryštálu.
Fermiho plocha
Makroskopický homogénny kus kovu budeme modelovať ako plyn elektrónov s danou koncentráciou \(n\) v kocke s rozmermi \(L \times L \times L\). Zatiaľ budeme predpokladať, že medzi nimi neexistujú elektrostatické interakcie. Na jadrá atómov a gravitáciu na chvíľu tiež zabudnime, čiže prakticky nám ostal neinteragujúci elektrónový plyn vo vákuu.
Vďaka periodickej okrajovej podmienke vlnovej funkcie sa v kvantovej mechanike dá ukázať, že hybnosť každého elektrónu musí nadobúdať len hodnoty: \[ \vec{p} = \hbar \vec{k} = \frac{2 \pi \hbar}{L} (a, b, c)\text{,} \] kde čísla \(a, b, c\) sú celé čísla. Kvantová mechanika takisto hovorí, že elektrón vlastní spin orientovaný buď nahor \(\uparrow\) alebo dole \(\downarrow\) a Pauliho vylučovací princíp dodáva, že každý elektrón v plyne sa nachádza v rôznom stave, čiže má svoju výnimočnú kombináciu čísel \(a, b, c\) a spinu. Inými slovami, v plyne nenájdeme dva elektróny s rovnakými vektormi hybnosti a zároveň rovnakým spinom!
Úloha 1
Energia voľného elektrónu s hybnosťou \(\vec{p}\) je \(\epsilon_{\vec{p}} = \dfrac{|\vec{p}|^2}{2m}\), pričom elektróny budú v snahe minimalizovať celkovú energiu plynu postupne obsadzovať stavy s najnižšou energiou. V hybnostnom priestore, ktorého osi tvoria hodnoty zložiek vektora \(\vec{k}\), sa takto geometricky vytvorí guľa, v ktorej vnútri sa nachádzajú len obsadené stavy a vonku neobsadené. Aký je polomer \(R\) takejto gule?
Útvar obsadených stavov v hybnostnom priestore môže v reálnych situáciach nadobúdať rôzne tvary (guľa je špeciálny prípad neinteragujúceho voľného plynu). Fyzikálna terminológia pre takýto útvar je .
Úloha 2
Vnútro Fermiho gule je v našom prípade obrovský počet diskrétnych bodov. Keďže koncentrácia elektrónov \(n\) zvykne byť vysoké číslo (rádovo \(\SI[parse-numbers = false]{10^{15}}{\per\cubic\metre}\)), možno sieť bodov považovať za kvázispojitú a v rôznych výpočtoch použiť aproximáciu \[ \Big(\frac{2\pi}{L}\Big)^3\sum_{\vec{k}} = \int \text{d}^3\vec{k}\text{.} \]
S touto pomôckou vypočítajte celkovú energiu Fermiho gule \(E_F\).
Interagujúci Coulombovský plyn
Vo všeobecnosti si nemôžeme dovoliť zanedbať elektrostatické interakcie, ktorými pôsobí každý elektrón na všetky ostatné. Ak je ich koncentrácia v kove \(n\), každému elektrónu vieme priradiť jeho mikroskopický objem \(n^{-1}\), ktorý si pre jednoduchosť môžeme predstaviť ako guľu s objemom \(\frac{4}{3}\pi r_0^3\). Teda typická vzdialenosť medzi najbližšími elektrónmi je \(r_0\). Z rozmerových dôvodov môžeme teda tvrdiť, že typická kinetická energia na jeden elektrón je \[ E_{\mathrm{kin}} = \frac{\hbar^2 k^2}{m} \sim \frac{\hbar^2}{mr_0^2}\text{.} \]
Úloha 3
Zhodnoťte, ako vplýva koncentrácia elektrónov na pomer medzi kinetickou a potenciálnou energiou systému. Približne pri akej hodnote \(n_0\) nastáva rovnosť?
Wignerov kryštál
Zahrňme teraz do teórie aj prítomnosť kladne nabitých jadier. Najjednoduchší pohľad na problematiku je taký, že si kladne nabité jadrá nepredstavíme ako sediace na konkrétnych miestach v priestore, ale že je ich náboj rozmazaný na pozadí a elektróny v takomto pozadí plávajú. Pomocou zložitejšej kvantovej mechaniky sa dá ukázať, že pri dostatočne nízkej koncentrácii \(n\) prejde systém interagujúceho elektrónového plynu do kryštalického stavu – Wignerovho kryštálu. Elektróny takto zaujali konkrétnu geometriu a kmitajú okolo svojich rovnovážnych polôh. Takúto uväznenosť si vieme predstaviť tak, že elektrón s nábojom \(-e\) kmitá v guli s polomerom \(r_0\), ktorá je nabitá kladným nábojom pozadia \(+e\).
Úloha 4
S akou uhlovou frekvenciou \(\omega_0\) kmitá Wignerov elektrón? Keďže elektrón sa nachádza v stabilnom kvantovo-mechanickom stave, energia systému elektrón+guľa je daná ako: \[ E = \frac{3}{2}\hbar \omega_0 - \frac{3e^2}{8\pi\epsilon_0 r_0} + E_g\text{,} \]
kde $ E_g $ je elektrostatická energia kladne nabitej Wignerovej gule.
Úloha 5
Dopočítajte energiu elektrostatickej gule \(E_g\) a ukážte, že energia systému sa dá v bezrozmerných jednotkách napísať ako: \[ \frac{E}{\epsilon_B} = \frac{\alpha}{r_s} + \frac{\beta}{r_s^{3/2}}\text{,} \] kde \(\epsilon_B\) je Bohrova energia základného stavu vodíka, \(r_s\) je rovný pomeru \(r_0/a_B\) a \(a_B\) je Bohrov polomer základného stavu vodíka. Nájdite číselné hodnoty bezrozmerných konštánt \(\alpha, \beta\).
Úloha 6
Numericky na počítači nakreslite závislosť bezrozmernej energie \(E/\epsilon_B\) od bezrozmernej vzdialenosti \(r_s\). Pre aký pomer \(r_0/a_B\) nastáva minimum? Akej hodnote koncentrácie elektrónov \(n^*\) to zodpovedá? Aký je pomer \(n^*/n_0\)?
Záverom dodajme, že uvedený model je veľmi jednoduchý a len v hrubých črtách odráža realitu fázového prechodu elektrónového systému. Lokalizácia elektrónového plynu do kryštalickej geometrie fyzikálne interpretujeme ako prechod z kovového stavu (vedúceho prúd) do izolujúceho (nevedúceho prúd). Podľa najmodernejších numerických simulácii je Wignerov kryštál stabilný len pre \(r_s > 106\) a jeho vlastnosti sú predmetom otvoreného výskumu.
Odovzdávanie
Na odovzdávanie sa musíš prihlásiť
Otázky a diskusia
Po skončení kola budete mať príležitosť na diskutovanie o riešeniach v diskusii pod vzorovým riešením.