6. Peťove zrážky

Máme dva zväzky častíc letiace oproti sebe. V každom z nich je hustota časíc na jednotku objemu \(n\) a každá častica má rýchlosť veľkosti \(v\) rovnobežnú so svojim zväzkom, teda pozdĺž osi \(x\). Plocha prierezu každého zvazku je \(S\). Oba zväzky sa stretnú v čase \(0~\mathrm{s}\) v mieste \(0\) na \(x\)-ovej osi. Ak sa dve protiidúce častice, loptičky s polomerom \(r\) zrazia, rozptýlia sa takmer s istotou tak, že opustia zväzok (stredná voľná dráha častíc je väčšia ako hrúbka zväzku). Každá častica sa preto môže zraziť nanajvýš raz. Označme teraz počet zrážok za jednotku času, ku ktorým dôjde v mieste \(\langle x, x+\mathrm{d}x\rangle\), ako \(f(x)dx\). Nájdite funkciu \(f(x)\) po dostatočne dlhom čase, keď sa situácia ustáli.