Počet bodov:
Popis:  9b

V termodynamike sa hovorí, že na každý stupeň voľnosti systému pripadá v priemere energia \(1/2kT\). Samotné stupne voľnosti sa však definujú iba vymenovaním, t. j. povie sa, že

  1. jednoatómová molekula plynu (napr. \(\text{He}\), \(\text{Ne}\), \(\text{Ar}\)) má tri stupne voľnosti za nezávislé pohyby v smere osí x, y, z,
  2. lineárna molekula plynu (napr \(\text{N}_2\), \(\text{O}_2\), \(\text{H}_2\), \(\text{CO}_2\); modelujeme ju ako guľôčky spojené nehmotnými pevnými paličkami) má dva stupne voľnosti navyše za rotácie okolo osí s väčším momentrom zotrvačnosti,
  3. nelineárna viacatómová molekula plynu (napr. \(\text{H}_2\text{O}\), \(\text{NH}_3\), \(\text{CH}_4\); opäť sa predpokladajú pevné väzby) má stupeň voľnosti aj za rotáciu okolo tretej osi,
  4. na každý oscilátor pripadajú dva stupne voľnosti (jeden za kinetickú a jeden za potenciálnu energiu).

Tak v jednotlivých prípadoch je stredná hodnota energia jednej molekuly pri teplote T postupne rovná

  1. \(3/2kT\),
  2. \(5/2kT\),
  3. \(3kT\) a
  4. \(kT\).

Tu by sa mal každý rozumne zmýšľajúci človek ťuknúť do hlavy, že niečo tu nesedí. Veď molekuly nemajú pevné väzby! Namiesto toho všetky atómy kmitajú okolo rovnovážnych polôh. Prečo teda neuvažujeme v prípade dvojatómových molekúl aj dva stupne voľnosti za kmitanie? A prečo jej zakazujeme rotovať okolo tretej osi? Ešte zaujímavejšie sa zdá byť, že experimentálne merané počty stupňov voľnosti často nie sú celé čísla a navyše klesajú so zmenšovaním teploty. Posledne uvedený jav sa nazýva vymŕzanie stupňov voľnosti. Ľudia jeho podstatu pochopili až po sformulovaní kvantovej mechaniky. Vy to môžete skúsiť tiež. Aby ste problém vyriešili, vezmite ako fakt Boltzmannov zákon, že pravdepodobnosť systému nachádzať sa v stave \(j\) je úmerná \(e^{-E_j/kT}\), kde \(E_j\) je energia systému v tomto stave. Najprv predpokladajte platnosť klasickej fyziky, kde môžu všetky diskutované veličiny nadobúdať spojite ľubovoľné hodnoty a presvedčte sa, že vtedy naozaj

  1. na pohyb v smere každej osi pripadá stredná hodnota energie \(1/2kT\),
  2. na rotáciu okolo každej z troch osí pripadá stredná hodnota energie \(1/2kT\),
  3. na harmonický oscilátor pripadá stredná hodnota celkovej energie \(kT\).

Z kvantovej mechaniky však vyplýva, že niektoré fyzikálne veličiny v niektorých systémoch sú kvantované, zatiaľ čo iné nie. Napríklad energia za posuvný pohyb môže byť hocijaká, preto tu vyjde stredná hodnota energia posuvného pohybu rovnaká ako v klasickej teórii.1 Vo zvyšných uvedených prípadoch však nastanú nasledovné zmeny:

  1. Podľa kvantovej mechaniky môže energia rotujúcej paličky s momentom zotrvačnosti I (vzhľadom na os kolmú na paličku) nadobúdať diskrétne hodnoty \(\frac{J \left( J + 1 \right) \hbar^2}{2I}\), kde \(J\) sú nezáporné celé čísla. Každej z týchto energií pritom zodpovedá \(2J + 1\) rôznych stavov. Numericky zistite, ako závisí stredná hodnota rotačnej energie na teplote a určte, pri akej teplote dochádza k vymŕzaniu rotačných stupňov voľnosti.

  2. Podľa kvantovej mechaniky môže energia oscilátora s uhlovou frekvenciou ω nadobúdať diskrétne hodnoty \(\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega\) kde \(n\) je opäť nezáporné celé číslo. Exaktným výpočtom zistite, ako závisí stredná hodnota energie oscilátora od teploty a zistite, pri akej teplote dochádza k vymŕzaniu oscilačných stupňov voľnosti.


  1. V skutočnosti existujú delikátne prípady, keď ani toto tvrdenie nie je celkom pravdivé. Príkladom je vymŕzanie pohybu v supratekutom héliu (pri teplotách pod \(\SI{2.17}{\kelvin}\))

Odovzdávanie

Na odovzdávanie sa musíš prihlásiť

Otázky a diskusia

Po skončení kola budete mať príležitosť na diskutovanie o riešeniach v diskusii pod vzorovým riešením.