Počet bodov:
Popis:  9b

Viditeľné časti špirálovitých galaxií, ako napríklad našej Mliečnej cesty, sú dominované plochým rotačným diskom. V typickej špirálovitej galaxii, tento disk obsahuje najviac hviezd a plynu. V tejto úlohe budeme predpokladať, že všetky objekty v disku špirálovitej galaxiie obiehajú po kružnicových trajektóriách okolo stredu galaxie a všetky tieto orbity ležia v jednej rovine.

Merania ukázali, že orbitálna rýchlosť ako funkcia vzdialenosti od stredu galaxie \(v(R)\) vedú k tzv. rotačnej krivke. Mimo najvnútornejšieho stredu galaxii sú rotačné krivky typicky ploché (viď obrázok nižšie). Ploché rotačné krivky však siahajú ďaleko za oblasti, v ktorých pozorujeme najväčšie množstvo viditeľnej hmoty, naznačujúc, že väčšina hmoty je neviditeľná. V tejto úlohu budeme predpokladať, že väčšina hmoty v galaxii pripadá k tzv. sféricky symetrickému dark halo, t.j. je sféricky rozložená okolo stredu galaxie, ale nie je viditeľná.

Náčrt rotačnej krivky - závislosti orbitálnej rýchlosti $v(R)$ ako funkcie $R$ od stredu galaxie.
Náčrt rotačnej krivky - závislosti orbitálnej rýchlosti \(v(R)\) ako funkcie \(R\) od stredu galaxie.
  1. Nech \(v_c\) je orbitálna rýchlosť v plochej časti rotačnej krivky. Nájdite celkovú hmotnosť \(M(R)\) a hustotu \(\rho(R)\) dark hala pomocou \(v_c\) a \(R\).

Fyzika za dark halami zostáva jednou z nevyriešených problémov súčasnej kozmológie. Jedným z navrhovaných riešení je, že môžu pozostávať z relatívne ťažkých kompaktných objektov, napr. čiernych dier. Tieto objeky môžu byť detekované tým, že vytvárajú efekt tzv. gravitačné šošovky, t. j. ak prejdú popred nejakú hviezdu v pozadí, svetlo pochádzajúce z tejto hviezdy bude ohnuté. Na to, aby sme však korektne vypočítali ohyb svetelných lúčov v gravitačnom poli by sme museli použiť Všeobecnú teóriu relativity. V tejto úlohe sa však skromne obmedzíme na klasickú Newtonovskú mechaniku.

Budeme predpokladať, že fotóny sú „guličky“ pohybujúce sa rýchlosťou svetla a ich pohyb sa dá opísať klasickou mechanikou. Budeme uvažovať geometriu ako na nasledujúcom obrázku. Predpokladajme, že fóton je emitovaný hviezdou \(S\) a potom prechádza vo vzdialenosti \(r_{\text{min}}\) popred objekt \(L\), ktorý spôsobí zakrivenie trajektórie lúča, ktorý pozoruje pozorovateľ \(O\). Ako fotón prechádza popred objekt \(L\) získa rýchlosť \(v_{\text{p}}\), kolmú na počiatočnú dráhu lúča, čím sa efektívne vychýli o uhol \(\alpha\) od pôvodnej trajektórie.

Môžete predpokladať, že \(v_{\text{p}}\) je rádovo menšia ako rýchlosť svetla \(c\), fotón sa počas celého pohybu pohybuje prakticky rýchlosťou svetla a vzdialenosti \(D_{\text{SL}}\) a \(D_{\text{LO}}\) sú rádovo väčšie ako \(r_{\text{min}}\).

Náčrt gravitačného šošovkovania.
Náčrt gravitačného šošovkovania.
  1. Nájdite uhol \(\alpha\) ako funkciu hmotnosti objektu \(L\) - \(M_L\) a vzdialenosti \(r_{\text{min}}\).

Pomocou výpočtov zo Všeobecnej teórie relativity možno ukázať, že správny (relativistický) vzťah pre uhol odklonu je \[ \alpha = \frac{4GM_L}{r_{\text{min}}c^2}\,\text{.} \]

Ak sa hviezda v pozadí, šošovkový objekt \(L\) a pozorovateľ nachádzajú presne na jednej priamke, tak ohnuté lúče z hviezdy vytvoria tzv. Einsteinov prstenec. Predpokladajte, že hviedza sa nacháza veľmi ďaleko od objektu \(L\), t.j. \(D_{\text{SL}} >> D_{\text{LO}}\) a ohyb svetla nastáva okamžite ako svetlo prechádza popred objekt \(L\).

  1. Ukáže, že pri týchto zanedbaniach je uhlový polomer Einsteinovho prstenca \(\theta_E\) úmerný výrazu \[ \theta_E \propto \sqrt{\frac{GM_L}{D_{\text{LO}}c^2}}\,\text{.} \]

Odovzdávanie

Na odovzdávanie sa musíš prihlásiť

Otázky a diskusia

Po skončení kola budete mať príležitosť na diskutovanie o riešeniach v diskusii pod vzorovým riešením.