V tejto úlohe sa pozrieme na dynamiku vo vzduchu vo veľmi dlhých vlakoch. Budeme uvažovať zjednodušený model, v ktorom nie sú vozne od seba odseparované, takže tvoria jeden veľký priestor dĺžky \(\SI{200}{\metre}\). Vo všetkých vozňoch sú zatvorené okná, takže žiadny vzduch nemôže vstúpiť ani opustiť tento veľký priestor (táto aproximácia nemá príliš ďaleko od slovenskej reality). Keďže vlak je rádovo dlhší ako širší, v princípe budeme riešiť jednorozmerný problém, takže všetky nasledujúce rovnice sa príslušným spôsobom zjednodušia.
Stacionárny režim
V tejto časti skúsime sa pokúsime nájsť distribúciu vzduchu vnútri v prípade, že vlak prichádza alebo opúšťa stanicu. Na vzdialenostiach väčších, ako je stredná dráha molekúl vo vzduchu, sa vzduch správa v princípe ako tekutina. V inerciálnej vzťažnej sústave vzduchu spĺňa rovnicu kontinuity \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho\vec{v}) = 0 \]
a Eulerovu rovnicu (Newtonov druhý zákon pre tekutiny) \[ \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla \vec{v} = - \frac{\nabla p}{\rho} + g\text{,} \]
kde \(\rho(x,t)\) je hustota vzduchu vzduchu, \(p(x,t)\) je tlak, \(v(x,t)\) je rýchlosť tekutiny a \(g\) je tiažové zrýchlenie. Na to, aby sme vyriešili tento systém rovníc, potrebujeme ešte nejakú rovnicu, ktorá nám previaže hustotu a tlak – stavovú rovnicu. Budeme predpokladať, že vzduch vo vlaku môžeme aproximovať ako ideálny plyn, čiže platí \[ p = \rho R T\text{,} \]
kde \(R = \SI{290}{\joule\per\kilogram\per\kelvin}\) je špecifická konštanta pre vzduch. Prítomnosť rušňa a niekoľko málo pasiažierov udržuje vzduch vnútri vlaku na konštantnej teplote \(T = \SI{300}{\kelvin}\). Predpokladáme, že počas prichádzania resp. odchádzania zo stanice sa vlak pohybuje s konštantným zrýchlením \(a\).
- Ako musíme zmeniť Eulerovu rovnicu, aby sme ju mohli použiť v neinerciálnej vzťažnej sústave?
- Pozrime sa najprv na stacionárne riešenie v termodynamickej rovnováhe. Vypočítajte hustotu vzduchu \(\rho_{\text{eq}}(x)\) ako funkciu pozície \(x\) vnútri vlaku.
- Ak označíme \(\overline{\rho}\) priemernú hustotu vzduchu pozdĺž vlaku a \(\delta\rho_{\text{eq}}(x) = \rho_{\text{eq}}(x) - \overline{\rho}\) odchýlku od priemernej hodnoty, nájdite odhad pre maximálnu bezrozmernú odchýlku hustoty \[\delta_{\text{eq}}(x) = \frac{\rho_{\text{eq}}(x)}{\overline{\rho}}-1\text{.}\]
Pociťovanie tlaku
Isto poznáte, že keď si dáte hlavu pod vodu, hydrostatický tlak na ušný bubienok začne byť dostatočne cítiť aj v hĺbke okolo \(\SI{20}{\centi\metre}\).
- Aké je minimálne zrýchlenie vlaku, pri ktorom človek stojaci na konci vlaku pocíti rozdiel svojimi ušami? Predpokladáte, že je možné pocítiť tento rozdiel v typickom vlaku? Vysvetlite tento rozdiel aj pomocou typického zrýchlenia vlaku. Porovnajte výsledky pre vlak s typickým dopravným lietadlom.
Keďže \(\delta\) je malá, môžeme časový vývoj vzduchu vnútri vlaku opisovať linearizovanými rovnicami pre prúdenie tekutín. Pre malé adiabatické zmeny sú zmeny hustoty a tlaku jednoducho previazané nasledujúcou rovnicou, \[ \delta p(x,t) \equiv p(x,t)-\overline{p} = \left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)\delta\rho(x,t) \equiv c_{\text{s}}^2\delta\rho(x,t)\text{,} \]
kde \(c_{\text{s}}\) je (adiabatická) rýchlosť vzduchu.
- Využite predcházajúci vzťah na to, aby ste vylúčili tlak z Eulerovej rovnice. Rozviňte rovnice kontinuity a Eulerovej rovnice do prvého rádu v malých zmenách \(\delta\) a \(v\) okolo statického homogénneho riešenia v pokoji \[ \rho(x,t) = \overline{\rho}\left(1+\delta(x,t)\right)\text{.} \]
Kombináciou týchto dvoch rovníc (alebo ich derivácií) nájdite jednu rovnicu pre \(\delta\). Stručne opíšte riešenie tejto rovnice.
Vlna v zrýchľujúcom vlaku
Rozviňte rovnice kontinuity a Eulerovej rovnice do prvého rádu v malých zmenách \(\delta\) a \(v\) okolo statického, ale nehomogénneho riešenia v prípade, že vlak zrýchľuje s konštantným zrýchlením. \[ \rho(x,t) = \rho(x) \left(1+\delta(x,t)\right)\text{.} \] Využitím niekoľkých predchádzajúcich rovníc nájdite riešenie pre \(\delta(t,x)\).
Odovzdávanie
Na odovzdávanie sa musíš prihlásiť
Otázky a diskusia
Po skončení kola budete mať príležitosť na diskutovanie o riešeniach v diskusii pod vzorovým riešením.