3. 3D kmity s 3 pružinami vzorové riešenie

1. Na hmotný bod o hmotnosti \(m\) sú pripevnené tri pružiny s nulovou pokojovou dĺžkou a tuhosťami \(k_1,k_2\) and \(k_3\). Tie pružiny su upevnené na steny jaskyne v bodoch \(\vec{r}_1,\vec{r}_2\) a \(\vec{r}_3\). Tiažové zrýchlenie je \(\vec g\). Nájdite rovnovážnu polohu \(\vec{R_r}\) hmotného bodu a nájdite periódu kmitov okolo neho.

2. Majme rovnakú situáciu ako v a), ale namiesto hmotného bodu sa jedná o tuhé teleso (takzvaný všeobecný zemiakoid). Označme polohu jeho ťažiska ako \(\vec R\) a body, v ktorých su pružiny upevnené na zemiakoid ako \(\vec{s}_1,\vec{s}_2\) a \(\vec{s}_3\) (merané vzhľadom na ťažisko v rovnovážnej polohe). Aká musí platiť podmienka, aby bol pohyb ťažiska \(\vec R\) totožný tomu v časti a), teda aby pohyb ťažiska nezávisel od rotačného pohybu?
   Nápoveda: Pokiaľ nemáte skúsenosti s maticami, tak predpokladajte malé uhly rotácie od rovnovážnej polohy.

3. Predpokladajte, že niekto nám zemiakoid ošúpal na tvar gule (homogénnej) s momentom zotrvačnosti \(I\) a pripevnil naň pružiny tak aby platila podmienka z b). Ukážte, že v tomto prípade bude aj rotačný pohyb nezávislý od translačného. Okolo akej osi máme rotačne vychýliť guľu o malý uhol aby vykonávala harmonické rotačné kmity okolo tejto osi?

V celej úlohe predpokladajte, že pružiny ani závažie nenarazia do skaly.